Accueil > Tous les numéros > Ethiopiques n° 91 > L’ARITHMÉTIQUE FANG À LA LUMIÈRE DE L’ARITHMÉTIQUE ANTIQUE ET MODERNE



L’ARITHMÉTIQUE FANG À LA LUMIÈRE DE L’ARITHMÉTIQUE ANTIQUE ET MODERNE
impression Imprimer

Éthiopiques n°91.
Littérature, philosophie et art
2ème semestre 2013

L’ARITHMÉTIQUE FANG À LA LUMIÈRE DE L’ARITHMÉTIQUE ANTIQUE ET MODERNE

Auteur : Edgar Mervin Martial MBA [1]

Établir la scientificité de la mathématique africaine, particulièrement de la mathématique gabonaise et singulièrement de la mathématique fang, n’est pas l’objectif de cette étude, loin que celui-ci soit de peu d’intérêt épistémologique. C’est tout simplement que d’autres l’ont déjà brillamment réalisé. C’est par exemple le cas d’Emmanuel Malolo Dissakè qui réfère précisément à la « mathématique pharaonique égyptienne » :

« Les défenseurs de l’Égypte peuvent ainsi accuser le camp d’en face d’idéologisme et de refus non motivé de la science à l’Égypte. Le racisme, pense-t-on, n’est pas loin, le préjugé anti-africain non plus : ceux qui n’ont inventé ni la poudre, ni rien, comment auraient-ils inventé la science ? Les tenants de la théorie moderne des sciences ont vu l’origine de leur objet d’analyse dans la Grèce, et sa cristallisation avec Galilée, Descartes et les autres. La rationalité y acquiert ses lettres de noblesse, elle a son acte de naissance ; et au-delà de cette naissance, il n’y a rien, ou plutôt quelque chose d’informe, des tâtonnements, du préscientifique, de la mystique et de la magie. Nous voulons tenter de faire tout ce qu’il y a de modeste : montrer que, par rapport aux critères dégagés par notre théorie contemporaine des sciences, ce qui se fait en Égypte au temps des pharaons – et que l’on continue de découvrir – mérite bien le label de science. S’il en est ainsi, on s’étonnera qu’au nom des mêmes critères, l’histoire et la philosophie des sciences le refusent obstinément » [2].

Par cette incisive adresse, cet épistémologue africain a d’une certaine façon offert une réplique magistrale à Kant, selon qui :

« La mathématique, depuis les temps les plus reculés où s’étende l’histoire de la raison humaine, est entrée, chez l’admirable peuple grec, dans la voie sûre d’une science […] Je crois plutôt que (principalement chez les Égyptiens) elle est restée longtemps à tâtonner et que ce changement révolutionnaire doit être attribué à une révolution qu’opéra l’heureuse idée d’un seul homme [Thalès] » [3].

La finalité de notre étude n’est non plus de faire la preuve de l’existence d’une activité mathématique africaine à travers celle d’un peuple africain, l’archéologie et la paléontologie attestant déjà que les premières traces d’opérations arithmétiques sont d’origine africaine et remontent à 18000 avant Jésus-Christ [4]. Par ailleurs, l’existence d’une activité géométrique africaine a été confortée par le programme de recherche « ethnomathématique » conduit par le professeur Paulus Gerdes dans l’espace culturel tchokwé [5].
Notre étude pourrait servir accessoirement à mettre à l’épreuve les assertions du genre de celle d’André Pichot d’après laquelle les « mathématiques en Égypte qui ignorent la mystique numérique suivent d’assez près les besoins pratiques de la gestion des biens » [6]. Notre principale préoccupation consistera en effet dans l’examen critique de l’arithmétique d’un peuple africain, notamment le peuple fang, à la lumière de l’arithmétique antique et moderne. Il n’est guère douteux qu’un tel travail ne laissera pas de fournir une réponse à la question liminaire de savoir si les caractéristiques de l’arithmétique fang sont ou bien spécifiques ou bien communes, ou bien encore les deux.

1. ASPECTS EXPLICITES DU SYSTÈME DE NOMBRES FANG

Les entiers naturels du système des nombres fang iraient de un (1) à quatre vingt dix neuf (99) [7]. Du point de vue de l’arithmétique, précisément de la théorie des ensembles, on a là affaire à un ensemble d’entiers naturels dont la composition est finie. C’est là incontestablement une limitation, en ce que l’ensemble N est en principe constitué par une quantité infinie d’entiers naturels, suivant l’axiome d’infinité [8] de la théorie des ensembles. On pourrait alors penser que l’ensemble des entiers naturels, dans le système des nombres fang, est incompatible avec un pan de l’arithmétique moderne. Comment expliquer cette incompatibilité ? Certains pensent que les Fang n’avaient pas de grands dénombrements à effectuer au cours de leur histoire démographique et matérielle [9]. Cette explication pour le moins anthropologique confine la mathématique fang à l’usage pratique, signifiant ainsi qu’il n’y aurait pas d’usage théorique de celle-ci. Ce qui n’est pas exact d’un point de vue logico-mathématique. On peut en effet arguer du fait que le système des nombres fang est nécessairement fondé sur une théorie, notamment une théorie des nombres, en ce qu’autrement ce système ne saurait s’appliquer aux objets. Certes en la matière, pourrait-on objecter, les peuples de tradition orale n’ont pas posé objectivement les objets mathématiques pour faire l’étude de leurs caractéristiques. C’est-à-dire que faute d’avoir pris conscience de l’existence des propriétés des objets mathématiques qu’ils emploient quotidiennement, ils n’ont point développé explicitement une ontologie mathématique, encore moins une mathématique pure. Malgré tout, on devrait se rendre à l’évidence que les nombres ne deviennent usuels pratiquement ou s’insère dans l’ordre de la mathématique appliquée que parce qu’ils sont avant tout liés à une théorie des nombres, soit-elle implicite. C’est cette liaison nécessaire et intrinsèque entre une théorie des nombres et l’usage pratique des nombres que James Ritter évoque ci-dessous : « Il n’y a pas de ‘’ligne droite’’ conduisant inévitablement des problèmes ‘’pratiques’’ aux problèmes abstraits. Différentes techniques peuvent suggérer différentes directions à explorer, et celles-ci, en retour, peuvent présenter divers niveaux et d’autres sortes de problèmes et d’approches plus éloignés des besoins productifs immédiats de la société […] Le développement des mathématiques à leur commencement met en évidence la nécessité d’une analyse plus fine du rapport entre les besoins matériels d’une société et la nature de la recherche mathématique, ‘’s’engendrant librement’’. Si les mathématiques antiques ne furent jamais ‘’simplement’’ pratiques et empiriques, il est peut-être tout aussi vrai que les mathématiques contemporaines ne sont pas ‘’purement’’ abstraites et spéculatives » [10].

On remarquera plus aisément par ailleurs une autre limitation qui touche, cette fois, au type d’ensemble. Sur plusieurs ensembles de nombres connus en arithmétique moderne [11], il ne serait pris en compte, semble-t-il dans l’arithmétique fang, que l’ensemble des entiers naturels N d’où les deux questions cruciales que voici : l’arithmétique fang est-elle véritablement fondée sur une quantité finie d’entiers naturels ? S’appuie-t-elle vraiment sur un unique ensemble ? Ces interrogations portent tout logiquement à avoir intérêt aux « non-dits » ou aux aspects implicites du système des nombres fang.

2. ASPECTS IMPLICITES DU SYSTÈME DE NOMBRES FANG

Les entiers naturels fang iraient de 1 à 99. Mais cet échantillon d’entiers naturels constitue, entend-on dire, seulement le « tronc commun » [12] de deux sous-systèmes : le système « nkama-sing » (100-1000) et le système « nter-toyin » (100-1000). Au plan numérique, il n’y a pas de distinguo à faire entre ces deux systèmes. C’est au plan méthodologique qu’il existe une différence. Pour la percevoir, il suffit de s’arrêter aux tableaux ci-après :

Système nkama-sing
100 500 1000 5000 10.000
Nkama 20 100 200 1000 2000
100
dolas dolas dolas dolas dolas
Sing 1/10 1/2 1 2 10
1000

Système nter-toyin

100 500 1000 5000 10.000
Nter 1 5 10 50 100
100
Toyin 1/10 1/2 1 5 10
1000

Ces deux tableaux pris séparément constituent deux systèmes de nombres rudimentaires. Il est même préférable de les considérer comme des « tables de calcul ». C’est-à-dire des tables pouvant servir à dénombrer les objets. Cela dit, on peut percevoir que le défaut de ces deux tables de calcul, c’est qu’elles ne permettent pas de compter jusqu’aux « grands nombres ». Ayant pris la mesure de cette difficulté, l’un de ceux qui s’adonnent à la réflexion sur cette thématique a proposé une troisième table de calcul, sous l’appellation de « système unifié » [13], qui fait la synthèse des deux premières. Ce qui donne le tableau suivant :

Système unifié

nter 100
toyin 1.000
èxùx 1.000.000
èndùndùm 1.000.000.000

Si cette troisième table de calcul intègre bien les deux autres, on retiendra surtout qu’elle permet de compter jusqu’aux très grands nombres (un milliard). Mais on se rend bien compte aussi qu’elle ne viserait pas avant tout le dénombrement des choses matérielles, contrairement aux deux autres, étant donné que si un grand nombre peut permettre de dénombrer une grande quantité d’objets, c’est là surtout une vue de l’esprit [14] plutôt que la résultante d’un constat empirique. Pensons par exemple à la question de l’infini : en théorie, par itération, on peut progresser indéfiniment dans le dénombrement. Mais en pratique, ce qu’on dénombre (mesure) est-il réellement infini ? Ce n’est pas parce qu’on a jamais atteint les bornes de notre univers que celui-ci est absolument infini. Pour le dire autrement, si notre connaissance limitée de l’immensité de l’univers implique « le continent de notre ignorance », celui-ci n’implique pas que l’univers est nécessairement infini.
Poursuivons l’analyse. On se rend compte que le zéro est absent dans le système de nombres fang. Si le zéro n’y existe pas explicitement, il peut néanmoins être inféré de la langue fang, à travers l’expression « mômô ». C’est-à-dire littéralement « les mains les mains ». La traduction claire de cette expression est « les mains vides ». Donc on peut conjecturer à bon droit que le « vide » peut être l’équivalent de « zéro », chez les Fang. Mais puisque leur système de nombres apparaît explicitement sans le zéro, on devrait en principe le noter de la manière suivante : N*, c’est-à-dire l’ensemble des entiers naturels privé de zéro. Il survient alors une autre question cruciale : pourquoi le « zéro » est-il sujet à subordination dans le système de nombres fang ?
Plusieurs réponses sont possibles, mais on s’en tiendra strictement à l’explication arithmétique d’après laquelle il existe plusieurs types de zéro : le zéro initial sert à noter les nombres décimaux (0.3). Le zéro médial indique qu’un emplacement autre que celui des unités est vide (1302). Le zéro terminal indique que l’emplacement des unités est vide (130). On voit bien ici que le zéro joue, dans chaque cas, un rôle important. André Pichot souligne à cet effet que « la distinction de ces types de zéro se comprend en ce que leur notation ou leur oubli perturbe le nombre de manière plus ou moins intéressante pour le calcul (l’ajout ou l’oubli du zéro terminal équivaut à une multiplication ou à une division du nombre par la base) » [15]. Outre la pertinence de sa position dans la détermination du type d’opérations arithmétiques, l’usage du zéro est fonction du type de système de numération naturelle qu’on adopte. Ainsi, comme le souligne encore André Pichot, « une numération de position doit donc connaître le zéro en tant que chiffre (plutôt que la simple expression linguistique de type ‘’vide’’ ou ‘’rien’’). Une numération qui juxtapose simplement les symboles et les additionne peut s’en passer » [16]. Ce qui pourrait laisser penser que le système de numération naturelle fang est un système de numération de juxtaposition. On y reviendra plus loin lorsqu’on examinera spécifiquement le système de numération naturelle fang.
Allons plus avant dans l’analyse. Le système de nombres fang présente à première vue un unique ensemble. Mais, il y existe en réalité d’autres ensembles. On peut les inférer à partir de la langue fang même. Dans cet ordre d’idées, il existerait, dans le système de nombres fang, l’ensemble des nombres décimaux, noté. Par exemple pour exprimer le nombre 5.5, le Fang dit « tàn mvàn tàn ». Par ailleurs, si le système de nombres fang contient l’ensemble N, on peut déduire qu’il contient aussi l’ensemble des entiers relatifs positifs, puisque Z + =N. En effet, l’axiome de séparation, introduit par Zermelo dans la théorie des ensembles, pourrait fonder rationnellement l’inclusion de l’ensemble des entiers relatifs positifs dans l’ensemble des entiers naturels. Cet axiome dit que : « pour tout ensemble A et pour tout prédicat P, il existe un ensemble contenant tous, et seulement, les éléments de A satisfaisant P » [17].
Après avoir déterminé les caractéristiques propres et partagées du système de nombres fang, il faut maintenant voir en quoi consiste à proprement parler la numération naturelle fang.

3. LA NUMÉRATION NATURELLE FANG

Partons de la définition selon laquelle la numération désigne le mode de représentation des nombres. Aussi, la numération concerne les mots, les gestes et les signes qui ont permis aux différents peuples d’énoncer, mimer et écrire ces nombres. La numération naturelle se subdivise en numération cardinale et en numération ordinale. C’est la première qui nous importe ici. En étudiant la numération cardinale fang, nous voulons répondre au questionnement suivant : s’agit-il d’une numération de juxtaposition, c’est-à-dire une numération selon un principe purement additif (et éventuellement soustractif), comme par exemple la numération romaine [18] ? S’agit-il plutôt d’une numération de position dans laquelle la valeur d’un symbole varie selon sa position dans l’écriture du nombre [19] ?
La difficulté que pose ce questionnement consiste en ce que la numération cardinale fang est « parlée » [20] plutôt qu’écrite. Mais qu’à cela ne tienne, il est possible d’y ressortir certaines opérations arithmétiques et certaines bases de numération pouvant permettre de déterminer à quel type de numération nous avons affaire. La numération cardinale (ou numération arithmétique) correspond à la représentation des quantités, des proportions ou des grandeurs. Ainsi, pour compter, le Fang utilise d’abord dix nombres qui vont de « fô » (1) à « awôm » (10). C’est dire que la numération cardinale fang se fonde primitivement sur les nombres qui vont de 1 à 10. Le tableau qui suit illustre la correspondance entre les nombres naturels fang et les nombres formels :

Nombres naturels Nombres formels [21]
(0) 0
1
2
3
Ni 4
Tàn 5
Sàmà 6
Zangbwàl 7
Mwôm 8
Ebùl 9
Awôm 10

À travers ce tableau, nous voyons nettement que la numération cardinale fang viole le premier axiome de la théorie des nombres naturels. Selon cet axiome, dont Richard Dedekind et Giuseppe Peano sont les auteurs, zéro est un nombre (NN0) [22]. La numération cardinale fang contredit aussi le second axiome. Suivant cet axiome, « le zéro n’est le successeur d’aucun nombre » (Sx0) [23]. La numération naturelle fang pose en effet le nombre 1 comme celui qui n’est le successeur d’aucun nombre. Or c’est là une propriété que l’arithmétique moderne réserve au nombre zéro. Entendons bien que si l’allusion au nombre zéro est effective dans la langue fang (« mômô »), il reste que la numération cardinale fang l’ignore carrément ! Si l’expression « mômô » (« ne rien avoir dans les mains ») implique bien l’idée du nombre zéro, ce n’est pas dire que le zéro soit ici un nombre pur, c’est-à-dire un nombre indifférent à son application pratique (par exemple le cas du dénombrement des objets). Autrement dit, le nombre zéro n’est nécessaire, pour le Fang, que pour signifier l’ensemble vide, c’est-à-dire pour dire que « Il n’y pas d’objets ». C’est tout comme si la présence ou l’expression du zéro dans le système de nombres fang aurait occasionné une redondance : s’il n’y a rien (zéro), on n’a nul besoin de le dire, puisque le taire, c’est déjà le dire.
Continuons notre étude. Pour compter du nombre 11 au nombre 99, les Fang utilisent une opération arithmétique, à savoir l’addition. Ainsi, étant parvenus au nombre 10, pour avoir le nombre 11, ils additionnent 10 et 1 (10 + 1). C’est-à-dire « awôm ye fô ». Et pour avoir 12, il additionne 10 et 2 (10+ 2), c’est-à-dire « awôm ye bè ». Et pour compter jusqu’à 19, les Fang additionnent 10 et 9 (10+ 9), c’est-à-dire « awôm ye ébul ». Le processus se poursuit de cette manière jusqu’au nombre 99. Il en résulte une sorte de schème arithmétique et surtout l’existence d’une base de numération précise. Concernant le schème arithmétique, la numération cardinale fang se fonde sur un procédé itératif qu’André Pichot rend de la manière suivante :

« Pour compter, on ajoute successivement des unités, et on les groupe par paquets chaque fois qu’on atteint une certaine valeur. De même, au bout d’un certain nombre de paquets, on groupe ces paquets en paquets plus grands, et ainsi de suite. Idéalement, le nombre d’éléments de chaque paquet, qui donne le caractère de la numération, est identique » [24].

Nous observons, à travers cette explication, que l’expression stricte de l’itération est celle que voici : 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, etc. Relativement à la base de numération, la numération cardinale fang repose sur une base décimale ou une base 10 (10 + n). Il est à noter que la technique d’itération n’est appliquée que sur la base 10 (10 + n), lorsqu’on compte du nombre 10 au nombre 19. Cela change lorsqu’on passe du nombre 19 au nombre 20. Avant d’expliciter ce changement, faisons remarquer deux choses : d’une part, la numération cardinale fang ne semble pas, au premier abord, postuler de nombres idéaux [25], car ceux-ci impliquent qu’après « l’Un, il y a un Deux, autre que l’Un et indépendant de l’Un premier, puis la Triade, indépendante de la Dyade, et de même pour les autres nombres » [26]. D’autre part, la numération cardinale fang postule des nombres sans les énumérer formellement. Ce qui est contraire à la stipulation suivante d’Aristote : « Après l’Un, le deux, lequel est l’addition d’un autre Un au premier Un, puis le trois, qui est l’addition d’un autre Un à ce deux, et ainsi de suite » [27]. Nous notons un usage de l’itération dans la numération cardinale fang et dans la numération que présente Aristote. Toutefois, le système de numération cardinale fang n’utilise l’itération qu’à partir du nombre 11 (10 + 1). Ce qui suppose que les nombres qui vont de 1 à 10 y sont indépendants. On pourrait en cela les considérer comme des nombres idéaux. Or le système de numération dont parle Aristote emploie l’itération à partir du nombre 2 (l’Un + l’Un), le reste du processus n’impliquant pas l’itération en raison de la présence de nombres idéaux (L’Un, la Dyade, la Triade, etc.). Par ailleurs, comme nous le verrons plus loin, le système de numération cardinale fang utilise l’itération sur une base 10, avec une base variant après chaque passage à la dizaine ; tandis que le système de numération qu’invoque Aristote utilise la même base de numération (base 1). Autant donc comprendre que les nombres qui vont de 1 à 10, qui constituent la base 10 de la numération cardinale Fang, ne sont pas justifiés rationnellement. D’où leur statut arbitraire, pour ne pas aller jusqu’à dire irrationnel [28]. Ce statut tient de ce que « théoriquement, on peut choisir n’importe quel nombre comme base de numération » [29]. Mais dès qu’on a choisi un nombre comme base, seuls les nombres qui en découlent sont justifiés rationnellement. Il ressort que les deux systèmes de numération naturelle comportent une quantité de nombres idéaux disproportionnée. Pour ce qui est de la numération cardinale fang, on a une quantité fini de nombres idéaux : ENI [30] = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Pour ce qui est de la numération cardinale dont fait état Aristote, on a une quantité infini de nombres idéaux : ENI = L’Un, la Dyade, la Triade, etc.. Cependant, il faut dire que l’idéalité de ces nombres, de part et d’autre, n’est qu’extrinsèque en ce qu’on peut justifier rationnellement leur existence, en s’appuyant sur les techniques et les opérations arithmétiques. Ainsi par exemple le nombre 1 est le fruit de ce qu’on appelle « initialisation ». Cette technique consiste à poser un nombre comme point de départ d’un ensemble de suites [31] ; ce nombre ressemble donc à un postulat ou à un axiome en ce qu’il est pris comme principio (commencement). Ensuite, pour passer au nombre 2, on utilise la technique d’itération appliquée à une base 1. On obtient :

2 = 1 + 1 ; 3 = (1 + 1) + 1 ; 4 = (1 + 1 + 1 ) + 1 ; 5 = (1 + 1 + 1 + 1) + 1 ; 6 = (1 + 1 + 1 + 1+ 1) + 1 ; 7 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + 1 ; 8 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1) + 1 ; 9 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1) + 1) ; 10 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1) + 1 ; etc.

Le caractère laborieux de ce dernier procédé est patent. Lorsque le nombre constituant la base d’une numération est trop petit, cette numération « ne nécessite que peu de symboles ou de noms », mais « il faut les combiner en des suites très longues » [32].
Allons maintenant au cas où le Fang veut passer du nombre 19 au nombre 20 : il effectue encore une addition, c’est-à-dire « me wôm me bè » (10 + 10). Littéralement, on entend « les dix sont deux ». Il s’agit semble-t-il d’additionner une dizaine avec une dizaine, c’est-à-dire additionner la base décimale avec elle-même. La technique utilisée ici est celle du « doublement », qui consiste en une addition ou en une multiplication : doubler 10, c’est additionner 10 à 10 ou multiplier 10 par 2 [33]. Paul Mba Abessole, dans La mathématique gabonaise : le système comptable, parle d’une « multiplication » pour passer du nombre 10 au nombre 20. On lui concède que si l’on se place dans la perspective de l’arithmétique moderne, il va sans dire qu’il est possible d’obtenir le nombre 20 par différentes opérations arithmétiques (2 x 10 ; 30 – 10 ; 40/ ; etc.). Cependant, si on demeure strictement sur le terrain de la numération naturelle fang, à travers la langue fang, il convient plutôt de soutenir la thèse selon laquelle pour arriver au nombre 20, il faut effectuer une addition (10 + 10), non pas une multiplication (10 x 2). On se doit de noter en effet que l’expression du nombre 20, en Fang, signifie littéralement « me wôm me bè », c’est-à-dire « les dix sont deux » ou « il y a deux dix ». Il s’agit là vraisemblablement d’une quantification du nombre 10. Cette quantification ne saurait être indéterminée, en ce qu’elle n’autorise pas toute opération arithmétique, mais une et une seule. Dans l’expression « les dix sont deux », le nombre 2 détermine la quantité de nombres 10 qui permet d’obtenir le nombre 20. Il en résulte manifestement un ensemble de deux éléments : E = 10, 10. Ainsi, c’est à partir des éléments de cet ensemble que l’on parvient au nombre 20. Dès lors la question essentielle est de savoir quelle est l’opération arithmétique qui doit être effectuée pour obtenir le nombre 20. C’est un peu comme résoudre une équation du premier degré à une inconnue, avec en prime ici comme inconnue l’opération arithmétique à effectuer : 10 y 10 = 20. Dans ces conditions, il n’est guère douteux que seule l’addition (10 + 10) conduit logiquement au résultat 20, non pas la multiplication (10 x 10). En outre, ajoutons accessoirement que Paul Mba Abessole propose une thèse qui semble ambiguë, voire paradoxale : à la page 11 de son opus, il dit : « À partir de 10 jusqu’à 99, on procède à l’addition » ; et à la page 12 : « À partir de 20, on procède à une multiplication ». Il est cohérent de dire que l’addition intervient à partir du nombre 10 jusqu’au nombre 19 et que la multiplication intervient à partir du nombre 20 jusqu’au nombre 99. Mais pour cohérente qu’elle puisse paraître, cette formulation n’est pas conforme à la numération naturelle fang. Car le passage du nombre 10 au nombre 20 révèle à souhait l’utilisation de la technique de l’itération, mais avec un changement de nombres, notamment les nombres qui composent la base. En effet, l’homme fang appelle le nombre 20 « me wôm me bè », littéralement « les dix sont deux », comme pour impliquer une addition de dix avec dix (10 + 10). Cette opération arithmétique est effectivement fondée sur une base 10 (10 + n) : il a été ajouté une dizaine à une dizaine. Tout compte fait, ce doublement de 10 préfigure, pour la suite, une base 20 (10 + 10 + n). D’où les questions suivantes : que se passe-t-il lorsque l’homme fang veut exprimer le nombre 21 ? Utilise-t-il toujours une base 10 ? Procède-t-il par itération ?
Pour passer du nombre 20 au nombre 21, le Fang dit « me wôm me bè ye fô ». C’est-à-dire littéralement « les dix sont deux et un ». Autrement dit, le nombre vingt est additionné à une unité (20 + 1). Ici, la base est donc 20. Ainsi, il y a effectivement un changement de base. De plus, il y a usage de l’itération. Mais pour que cela soit bien en évidence, poursuivons l’analyse. Pour exprimer le nombre 22, le Fang dit « me wôm me bè ye bè », c’est-à-dire littéralement « les dix sont deux et deux » (20 + 2). Pour exprimer le nombre 23, il dit « me wôm me bè ye lal », ce qui veut dire littéralement « les dix sont deux et trois » (20 + 3). Finalement, pour exprimer le nombre 29, on dit en langue fang « me wôm me bè ye ébùl ». Ce qui signifie littéralement « les dix sont deux et neuf » (20 + 9). Pour passer du nombre 20 au nombre 29, le procédé d’itération s’applique sur une base 20 (10 +10 + n). À ce niveau d’analyse, on peut risquer la déduction de l’algorithme qui régit la numération cardinale Fang. Mais rappelons d’abord, avec Robert Nadeau, que l’algorithme est une « classe finie des règles opératoires propres à un calcul, ce calcul menant de certains types de données à certains types de résultats » [34]. Cela posé, disons que l’algorithme de la numération cardinale fang est structuré par une itération appliquée à des suites de bases croissantes par dizaine. Précisément, l’itération est réalisée à l’origine sur une base 10 (10 + n), ensuite on change de base après le passage d’une dizaine ((20 + n), (30 + n), (40 + n), (50 + n), (60 + n), (70 + n), (80 + n), (90 + n)). Ainsi, du nombre 11 au nombre 99, l’itération s’applique à des bases différentes. Le nombre 99 est traduit par l’expression « me wôm ébùl ye ébùl ». Entendons littéralement « les dix sont neuf et neuf » (90 + 9). L’itération s’applique ici à une base 90 ; c’est là une trop grande base. Par où son usage est relativement difficile. En effet, « pour qu’une base soit facilement utilisable, il faut qu’elle ne soit pas trop grande » [35]. La numération cardinale fang parvient à contourner cette difficulté par l’usage d’un ensemble de bases auxiliaires. La base 10 étant la base de départ, elle fait place à des bases successives qui sont caractérisées par leur accroissement graduel (base 20 ; base 30, base 40, base 50, base 60, base 70, base 80, base 90, etc.).
À partir de cet algorithme, nous pouvons répondre à la question du type de numération auquel appartient la numération cardinale fang. Il s’agit d’une numération de juxtaposition des symboles et d’addition de ceux-ci. Rappelons que dans l’expression du nombre 11, le Fang dit « awôm ye fô ». Il s’agit ici de la juxtaposition de trois termes : « awôm », le terme qui représente le nombre 10 ; « ye » [36], celui qui représente la conjonction ou l’opération arithmétique (l’addition) ; et « fô », celui qui représente le nombre 1. Rappelons encore que dans l’expression du nombre 20, le Fang dit « me wôm me bè ». Ici, on observe qu’il y a toujours juxtaposition. On juxtapose « me wôm » (les dix) et « bè » (deux). Entendons que pour obtenir le nombre 20, il suffit d’additionner les deux dix considérés [37]. Ainsi, dans l’expression du nombre 20, l’addition est toujours présente quoique implicitement formulée. Si la juxtaposition et l’addition des termes juxtaposés caractérisent la numération cardinale fang, le « zéro » ne lui est donc pas essentiel. Ce qui explique sa subordination dans le système de nombres fang. En effet, le « zéro » n’est essentiel qu’à la numération de position. Il appert alors que le premier, le deuxième et le cinquième axiome [38] de la théorie moderne des nombres naturels sont incompatibles avec la numération de juxtaposition fang. Ces axiomes ne sont compatibles qu’avec la numération de position. Or la numération de position caractérise le système de numération occidental : « Dans notre système décimal de position, nous avons neuf chiffres 1, 2, 3…9 plus 0 et la valeur d’un chiffre dans l’écriture d’un nombre est déterminée par sa position » [39]. Cette situation permet de constater que la numération égyptienne [40] antique s’apparente à la numération fang, tout comme la numération mésopotamienne s’apparente [41] à la numération occidentale :

« C’est une numération de base 10 ; elle ne connaît pas le zéro et elle n’est pas de position […] La numération égyptienne, contrairement à celle de Babylone, n’a pas évolué vers une numération de position ; elle a toujours conservé le principe de juxtaposition » [42].

CONCLUSION

Cette étude a permis de comprendre un tantinet un aspect de la mathématique fang, à travers l’examen du système de nombres fang et de la numération naturelle fang (numération cardinale), et ce à l’aune de quelques principes (théorie, axiome, théorème) de l’arithmétique antique et moderne. Il en a résulté que l’arithmétique fang est à la fois singulière (l’occultation explicite du zéro, la juxtaposition de la numération cardinale, l’emploi spécifique des bases de numération) et apparentée à l’arithmétique antique et moderne (l’usage de la technique de l’itération et des opérations arithmétiques comme l’addition et la multiplication). Ce résultat soulève forcément la question de savoir si la singularité de l’arithmétique fang tient exclusivement à son rapport différentiel à l’arithmétique antique et moderne de source occidentale. En d’autres termes, cette arithmétique est-elle singulière relativement aux autres peuples du Gabon, voire de l’Afrique ? De fait, la singularité de l’arithmétique fang ne vaudrait que pour sa relation avec l’arithmétique moderne. On constate en effet que les autres groupes ethnolinguistiques gabonais ont en partage cette singularité. C’est le cas par exemple du Punu qui passe outre, tout comme le Fang, l’existence du nombre zéro dans son système de nombres. En l’espèce, le premier entier naturel punu est « mossi » (un). Ce qui présume de l’idée que l’arithmétique punu devrait aussi violer les axiomes de la théorie arithmétique moderne et impliquer une numération naturelle qui est de juxtaposition.
Cependant, il appert des différences : ce qui distingue les deux systèmes arithmétiques est que naturellement le Punu va plus loin dans les grands nombres que le Fang ; d’un côté, le nombre un million est le plus grand entier naturel (« ivévi ») ; de l’autre, c’est le nombre dix mille. De manière générale, les peuples négro-africains ont davantage développé des systèmes de dénombrement des objets – pour évaluer l’avoir (compter l’argent, etc.) – que des systèmes qui tendent à des nombres naturels toujours plus grands (savoir s’il existe un plus grand nombre cardinal et un plus grand nombre ordinal, etc.). Ce qui voudrait dire que l’activité théorique (édifier un système de nombres naturels) n’y aurait pas eu le dessus sur l’intérêt pratique. Mais en aucun cas cela ne signifie absolument que leur activité arithmétique n’était que pure « recette pratique », c’est-à-dire de la « prémathématique » ou de la « protomathématique ». Si leur manipulation des nombres n’était rien d’autre qu’un jeu de combinaisons empiriques, comment Thalès, Pythagore et Diophante, pour ne citer que ceux-là, ont pu découvrir des propriétés formelles dans cette activité qui confine à la dimension purement empirique ? Le dépassement effectué par les mathématiciens grecs consiste tout simplement dans l’expression explicite et la justification rationnelle des propriétés des nombres que les mathématiciens mésopotamiens et égyptiens connaissaient déjà [43]. D’où l’idée que la différence entre les Grecs et les autres peuples de l’Antiquité ne consiste pas dans la différence de nature mathématique mais plutôt dans le degré développement mathématique. En d’autres mots, les uns (Égyptiens et Mésopotamiens) se sont occupés de ce qui constitue le soubassement de l’édifice mathématique, les autres (Grecs) de ce qui en forme les murs et la voûte. D’où suit que ceux qui réduisent les mathématiques non occidentales à des « réalisations périphériques » confondent à tort l’intention qui sous-tend une activité intellectuelle (« réflexion faite pour le plaisir de la réflexion », « préoccupation économique », etc.) et la nature de cette activité. C’est le cas de Jean Claude Baudet qui estime que « tout savoir élaboré commence par un intérêt matériel, économique, technique. La technique précède la science » [44]. C’est là une façon de seriner qu’en précédant la science, l’intérêt détermine intrinsèquement la nature de celle-ci. C’est donc dire que la nature première de la science est pratique. Mais pourquoi alors dénoncer le caractère pratique de la mathématique non occidentale ? L’assertion de cet historien des sciences est même réfutée par le fait que les systèmes de nombres naturels, aussi bien chez le Fang que chez le Punu, ne servent pas à énumérer les choses. En effet, d’autres systèmes s’en chargent [45]. Par où il n’y a pas d’intérêt ici clairement affirmé, si ce n’est peut-être l’intérêt théorétique d’édifier un système de nombres (naturels) ! Ensuite, une telle définition de la nature de la science montre que son auteur ne tire pas pleinement profit de la leçon qu’enseigne l’histoire des sciences qui est son terrain d’élection : l’atomisme [46] fut longtemps considéré comme une doctrine occulte parce qu’il n’y avait pas d’instruments permettant d’observer les atomes. Or avec le développement des techniques et des technologies adéquates, on a pu corroborer la thèse de l’existence des entités atomiques, et même subatomiques. Cet exemple classique suffit à montrer que la science n’est pas absolument précédée par la technique, mais plutôt par des idées constituant des hypothèses ou des conjectures, et on parle de « théorie métaphysique » [47]. En outre, on ne perçoit pas bien l’intérêt pratique pour lequel les atomistes (Leucippe, Démocrite, Épicure, etc.) avaient postulé une réalité au-delà de la perception sensible naturelle [48]. Notre auteur pourrait arguer du fait qu’il y avait bien un intérêt, notamment un intérêt théorétique, c’est-à-dire le dépassement des théories précédentes (la terre, l’eau, le feu, l’air). Mais alors, il introduirait une contradiction dans sa définition de la nature du savoir. En effet, l’intention de proposer une théorie atomique, qui explique l’univers plus profondément que les autres théories, est évidemment un intérêt ; sauf que celui-ci n’est ni « matériel », ni « économique », ni encore « technique ». La seule façon de dissiper le paradoxe ici, c’est d’intégrer cet autre genre d’intérêt (l’intérêt théorétique) dans la définition de la nature de la science et, par conséquent, de retirer le second terme de celle-ci, à savoir « la technique précède la science ».

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

ARISTOTE, Métaphysique, tome 2, livres H-N, Paris, Vrin, Librairie philosophique, 1991.
BAUDET, J.-C., Mathématique et vérité : une philosophie du nombre, Paris, L’Harmattan, Coll. « Ouverture philosophique », 2005.
GERDES, P., Une tradition géométrique en Afrique : les dessins sur le sable, tome 2 « Exploration éducative et mathématique », Paris, L’Harmattan, 1995.
KANT, E., Critique de la raison pure, Paris, PUF, Coll. Quadrige, 1993.
MALOLO DISSAKE, E., La mathématique pharaonique égyptienne à la lumière de la théorie moderne des sciences, Paris, Dianoïa, Coll. « Mâât Cogitationes », 2005.
MBA ABESSOLE, P., La mathématique gabonaise : le système comptable, inédit.
NADEAU, R., Vocabulaire technique et analytique de l’épistémologie, Paris, PUF, Coll. Premier cycle, 1999.
OBENGA, T., Les Bantu : langues, peuples, civilisations, Paris, Présence Africaine, 1985.
PICHOT, A., La naissance de la science : Mésopotamie, Égypte, tome 1, Paris, Gallimard, Coll. Folio essais, 1991.
POPPER, K.R., La logique de la découverte scientifique, Paris, Payot, Bibliothèque scientifique, 1979.
RITTER, J., « Chacun sa vérité : les mathématiques en Égypte et en Mésopotamie », in Serres M. (sous la direction de), Éléments d’histoire des sciences, Paris, Bordas, Coll. Les référents, 2003.
VIDAL-ROSSET, J., Qu’est-ce qu’un paradoxe ?, Paris, Vrin, Coll. « Chemins philosophiques », 2004.


[1] Docteur (N.R.) en philosophie des sciences/épistémologie

[2] La mathématique pharaonique égyptienne à la lumière de la théorie moderne des sciences, Paris, Dianoïa, Coll. « Mâât Cogitationes », 2005, p. 9.

[3] Critique de la raison pure, Paris, PUF, Quadrige, 1993 (4ème éd.), préface de 1781, p. 16-17.

[4] Allusion est faite ici à « l’os d’Ishango » qui aurait été entaillé afin d’effectuer des additions et des soustractions.

[5] Suivant les travaux de Théophile OBENGA, le groupe tchokwé-lunda appartient à la classe des Bantu du centre, Les Bantu : langues, peuples, civilisations, Paris, Présence Africaine, 1985, p. 22-30.

[6] La naissance de la science : Mésopotamie, Égypte, tome 1, Paris, Gallimard, Coll. Folio essais, 1991, p. 16.

[7] Même si nous ne faisons pas dans notre étude la distinction entre les nombres naturels, les nombres formels et les chiffres, nous tenons à la signaler : lorsqu’on dit «  » ou « un », on pense à un nombre naturel ; et lorsque nous disons « II » ou « 2 », il s’agit plutôt d’un nombre formel. Le chiffre est le « signifiant » et le nombre est le « signifié ». Sur ce point, on lira à profit Jean Claude BAUDET, Mathématique et vérité : une philosophie du nombre, Paris, L’Harmattan, Coll. « Ouverture philosophique », 2005, p. 53.

[8] L’axiome d’infinité consiste à dire qu’il existe un ensemble infini d’objets, et le théorème de Cantor démontre qu’il n’y a pas de plus grand nombre cardinal, c’est-à-dire « une quantité numérique considéré indépendamment de l’ordre des éléments », Joseph VIDAL-ROSSET, Qu’est-ce qu’un paradoxe ?, Paris, Vrin, Coll. « Chemins philosophiques », 2004, p. 12.

[9] MBA ABESSOLE, Paul, La mathématique gabonaise : le système comptable, inédit, p. 9-10.

[10] RITTER, James, « Chacun sa vérité : les mathématiques en Égypte et en Mésopotamie », SERRES, Michel (sous la direction de), Éléments d’histoire des sciences, Paris, Bordas, Coll. Les référents, 2003, p. 94.

[11] (l’ensemble des entiers relatifs Z l’ensemble des nombres décimaux qui s’écrivent avec un nombre fini de décimales D, l’ensemble Q des nombres rationnels qui peuvent s’écrire comme la fraction de deux décimaux avec le nombre de décimales pouvant être infini mais devant être périodique, l’ensemble R des nombres réels dont la partie imaginaire est nulle, et l’ensemble des nombres complexes qui regroupent tous les nombres, qu’ils soient réels, imaginaires, ou une combinaison des deux C).

[12] MBA ABESSOLE, Paul, op. cit., p. 9.

[13] MBA ABESSOLE, Paul, op. cit., p. 16.

[14] « Grâce à l’analyse moderne, le paradoxe d’Achille est résolu en utilisant le fait qu’une somme dans une série infinie peut donner un résultat fini. Ajouter indéfiniment tous les temps dont Achille a besoin pour rejoindre les positions précédentes de la tortue a comme résultat un temps total fini au bout duquel Achille rattrape la tortue. La définition des séries convergentes le montre », VIDAL-ROSSET, Joseph, op.cit., p. 44.

[15] Cf. PICHOT, A., op. cit., p. 65.

[16] Ibid.

[17] PICHOT, A., op. cit., p. 35.

[18] Pour écrire 3 ou 20 ou 33 : III, XX, XXXIII ; il y a un symbole pour UN et un symbole pour DIX, on les juxtapose et on les additionne (parfois on les soustrait : NEUF s’écrira IX, c’est-à-dire DIX moins UN).

[19] Par exemple dans 111 (cent onze), le premier 1 vaut CENT, le deuxième DIX et le troisième UN ; ici on additionne la valeur des symboles. La numération de position transpose donc directement dans l’écriture la structure que donne la base à la suite des nombres.

[20] C’est par exemple le cas de la numération sumérienne.

[21] NADEAU, Robert, Vocabulaire technique et analytique de l’épistémologie, Paris, PUF, Coll. Premier cycle, 1999, p. 449.

[22] NADEAU, Robert, Vocabulaire technique et analytique de l’épistémologie, p. 35.

[23] Ibid.

[24] NADEAU, Robert, Vocabulaire technique et analytique de l’épistémologie, p. 63.

[25] Un nombre idéal est celui dans lequel « il y a de l’antérieur et du postérieur », ARISTOTE, Métaphysique, tome 2, livres H-N, Paris, Vrin, Librairie philosophique, 1991, p. 221.

[26] Ibidem, p. 219.

[27] Idem.

[28] Un exemple de l’irrationalité en mathématiques est donné par Joseph VIDAL-ROSSET : « Le fait que le carré d’un nombre entier ne puisse être le double du carré d’un autre implique l’impossibilité d’exprimer exactement par des entiers ou des rapports rationnels toutes les grandeurs géométriques », op. cit., p. 4.

[29] PICHOT, André, op. cit., p. 64.

[30] Ensemble de nombres idéaux.

[31] RITTER, James, op. cit., p. 72-77.

[32] PICHOT, André, op. cit., p. 64.

[33] Ibid., p.72.

[34] PICHOT, André, op. cit., p. 8.

[35] Ibid., p. 64.

[36] Il s’agit de la conjonction « et », qui n’équivaut pas ici à un produit logique. C’est uniquement dans le système de dénombrement fang que la conjonction « et » peut équivaloir au produit logique.

[37] Dans le cas où l’on effectuerait plutôt, par exemple, une multiplication ou une soustraction, on n’obtiendrait pas le nombre 20, mais plutôt le nombre 100 ou le nombre zéro. Or ces deux nombres ont des statuts particuliers dans l’arithmétique fang : l’un n’existe pas dans le système de nombres entiers naturels ; l’autre se présente comme un nombre idéal, puisque aucune technique ou opération arithmétique ne permet naturellement à l’homme fang de l’exprimer dans le système de nombres entiers naturels. Ajoutons que ce nombre n’existe que dans son système de dénombrement des choses.

[38] Le premier axiome : zéro est un nombre ; le second axiome : zéro n’est le successeur d’aucun nombre ; le cinquième axiome : si zéro possède une certaine propriété F, et si chaque fois qu’un nombre possède la propriété F son successeur a la même propriété, alors tous les nombres ont la propriété F, Robert NADEAU, op. cit., p. 35.

[39] RITTER, James, op. cit., p. 80.

[40] Il est à noter que les Grecs et les Romains ne connaissaient pas le zéro et la numération de position. Cf. PICHOT, André, op cit., p. 74.

[41] Si les Mésopotamiens étaient passés d’une numération de juxtaposition à une numération de position, la conséquence c’est que le zéro, étant essentiel à la numération de position, était déjà présent dans leur système des nombres, avant qu’il ne soit utilisé dans ceux des Indiens et des Arabes. Du coup, il est contradictoire de dire que « le mot ‘’zéro’’ vient de l’arabe sifr qui signifie ‘’vide’’ » (A. PICHOT, p. 65). À moins que cette évolution de numération ait été faite à partir du contact avec les Arabes ou les Indiens. C’est vers 2000 av. J.-C. qu’une numération positionnelle apparaît chez les Mésopotamiens (A. PICHOT, p. 70). Une autre conséquence, c’est de dire que le zéro n’est peut-être pas si essentiel à la numération de position. À la vérité, la numération mésopotamienne est à la fois de juxtaposition (pour les nombres inférieurs à 60) et de position (pour les autres nombres) : « c’est là la plus ancienne numération de position […] elle n’est pas parfaite […] elle resta longtemps sans connaître le zéro qui pourtant joue un rôle important dans la numération de position » (p. 73).

[42] PICHOT, André, op. cit., p. 212 et 215.

[43] BRUINS & RUTTEN, NEUGEBAUER & SACHS ont montré, chez les Mésopotamiens, une application du théorème de Pythagore au calcul de la diagonale du rectangle (PICHOT, A., op. cit., p. 108-110). NEUGEBAUER & SACHS ont montré une manifestation du théorème de Thalès (PICHOT, A., op. cit., p. 111-113). Le papyrus de Rhind indique que les Égyptiens utilisaient correctement le théorème dit de Thalès (PICHOT, A., op. cit. p. 244-246). Et PARKER (1972) a montré l’usage égyptien du théorème dit de Pythagore (PICHOT, A., op. cit., p. 260-261). Paulus GERDES a mis au jour l’utilisation traditionnelle, en Afrique subsaharienne, du théorème dit de Pythagore (p. 269) et l’existence de l’algorithme d’Euclide et des graphes d’Euler (p. 283), Une tradition géométrique en Afrique : les dessins sur le sable, Tome 2 « Exploration éducative et mathématique », Paris, L’Harmattan, 1995.

[44] GERDES, Paulus, op. cit., p. 19.

[45] Chez ces peuples-là, les systèmes de dénombrement des choses sont différents des systèmes de nombres.

[46] Doctrine ancienne qui constitue la première physique nettement matérialiste excluant l’intervention des dieux dans l’explication de l’univers. Selon la doctrine atomiste, « le réel est différent de ce que nous percevons par nos sens : les qualités sensibles […] sont purement subjectives, le vrai principe des choses étant le mouvement des atomes dans le vide. Les atomes, en nombre infini, ont une grandeur, une forme et, bien sûr, un mouvement : ce sont des particules homogènes, impénétrables, insécables, inaltérables, indestructibles et éternelles », NADEAU, R., op. cit., p. 29.

[47] Ce sont des théories qui ne sont pas encore « testées », pour ne pas dire comme Karl POPPER « testables empiriquement », La logique de la découverte scientifique, Paris, Payot, Bibliothèque scientifique, 1979, p. 36.

[48] Si la perception sensible naturelle est limitée, ce n’est point le cas de la perception sensible artificielle. Par exemple, dans le cas de l’observation de la lune, on est passé de la lunette astronomique au télescope. Ce dernier est sans cesse perfectionné.




Site réalisé avec SPIP avec le soutien de l’Agence universitaire de la Francophonie