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DE LA MATHEMATIQUE, DE L’ENFANT ET DES HOMMES
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Ethiopiques numéro 12 octobre 1977
revue socialiste
de culture négro-africaine

Auteur : Souleymane Niang

La mathématique d’aujourd’hui est une mise au point, une actualisation des connaissances traditionnelles due à une réorganisation profonde des idées.
Cette actualisation ne porte pas seulement sur une certaine symbolique ou sur la langue, si nouveau qu’il apparaisse, car pour peu qu’un langage soit cohérent, on finit toujours par s’y habituer et par l’adopter.
Le changement porte, au-delà des signes et des symboles, sur la pensée mathématique elle-même, qui conduit à une certaine tournure d’esprit « économique ». Cela veut dire que la mathématique actuelle permet de mieux réagir devant des situations diverses en saisissant globalement ce qui les caractérise ; cela veut dire qu’elle facilite l’élaboration de théories générales plus fécondes, sans s’attarder sur des cas particuliers résolus ou résolubles par ces théories ; cela veut dire qu’elle renouvelle et enrichit la pensée mathématique.
Ce qui frappe dans la mathématique actuelle, c’est sa grande unité, unité qui se trouve réalisée par la théorie des ensembles élaborée vers le milieu du dix-neuvième siècle, reprise et travaillée depuis lors pour atteindre un haut degré de raffinement et d’abstraction vers le milieu de notre siècle ; unité qui réconcilie la Géométrie et l’Arithmétique et qui explique l’importance particulière qu’on accorde, dès les premiers pas de l’apprentissage, aux « notions sur les ensembles ».
Cet aspect de réorganisation, de remise en ordre qui bouscule les habitudes, est sans doute un des facteurs actifs qui ont été à l’origine d’une violente campagne contre la Mathématique, campagne qui s’apaise peu à peu, brisée par la vitalité même de cette Mathématique, foyer d’idées novatrices et creuset d’outils efficaces d’où viennent s’abreuver et s’armer la plupart des autres sciences, pour une meilleure connaissance du monde.
Néanmoins la Mathématique d’aujourd’hui pose un problème fondamental : celui de l’élaboration d’une pédagogie adaptée à ce qui apparaît être une révolution ; et « toute la révolution tient dans la manière d’enseigner . [1] Il importe dès lors de s’attarder un peu sur cette recherche pédagogique.
Des études minutieuses et profondes, menées notamment par J. Piaget [2] et ses collaborateurs, ont montré que l’évolution mentale de l’enfant se fait de façon stadiale par trois paliers successifs jusqu’à l’âge de onze-douze ans. Mais cette évolution est-elle influencée par un environnement social, par une pédagogie adéquate ?
Si dans cette évolution l’on s’en tient strictement au développement des structures intellectuelles déterminantes et non aux acquisitions empiriques, la réponse est nettement positive chez J. Brunner [3] pour lequel ce développement intellectuel s’acquiert « par un processus d’intériorisation des procédés d’action, d’imagination et symbolisation qui existent dans la culture de la société ».
Brunner réfute les thèses de Piaget et de ses collaborateurs qui pensent que « le succès de l’apprentissage est nettement subordonné au niveau de développement intellectuel » [4], ce développement ne pouvant être acquis ou accéléré par un simple apprentissage.
Le rôle de l’éducation et celui de l’apprentissage dans le processus de développement intellectuel de l’enfant et dans celui de la transmission des connaissances est dès lors posé. L’importance de la pédagogie dans ce processus dépend du point de vue adopté.
Fischbein, soulignant la difficulté de la question et analysant les modes de passage, dans l’évolution mentale de l’enfant d’un palier à l’autre ainsi que la complexité des structures psychiques qui les accompagnent, note : « Un apprentissage des structures intellectuelles est donc irréductible à l’apprentissage empirique. Mais ceci ne signifie pas qu’il serait impossible » et ajoute : « En discutant de l’évolution des structures psychiques il faut tenir compte aussi d’un autre aspect. Les composantes de l’intellect ne présentent pas toutes une évolution ascendante... Il y a d’autres aspects qui ne se développent pas en dehors d’un apprentissage spécial. On peut déceler des aspects stagnants ou même des involutions. [5]
Ainsi, avec Fischbein, est-on conduit à admettre que des méthodes pédagogiques appropriées favorisent bien, dans une certaine mesure, l’éclosion des structures mentales de l’enfant et influent favorablement sur le développement intellectuel de celui-ci, en même temps qu’elles contribuent à une bonne acquisition de connaissances.
Cette doctrine, plus nuancée que les deux précédentes, n’empêche pas, semble-t-il, de penser avec Brunner qu’il faut tenir compte, dans ce processus, du paramètre important d’impulsion qu’est l’environnement socioculturel de l’enfant.
Dès lors toute pédagogie appropriée, se préoccupant du développement intellectuel de l’enfant et d’une bonne transmission de connaissances, devrait s’appuyer au moins sur deux composantes principales : l’une, globale, axée sur les facteurs propres attachés à la nature des sciences à enseigner ; l’autre, particulière, pointée vers le milieu socio-culturel de l’enfant. La pédagogie conçue de cette façon, est nécessairement différenciée, ce qui la rend singulièrement complexe mais aussi généralement attachante.
Si un enseignement équilibré et harmonieux doit tendre vers le développement en y favorisant l’épanouissement des structures mentales, alors cet enseignement trouve dans la Mathématique d’aujourd’hui un champ exceptionnellement favorable, fertile en notions novatrices et en concepts gradués.
De nombreux travaux, comme ceux de C. Hug [6], ayant prouvé que l’enfant était capable, dès l’âge de sept ans, de jouer avec des ensembles mathématiques et d’en saisir certaines propriétés, il faut, partout où cela est possible, introduire les mathématiques structurales dès l’école primaire. Mais la plus grande prudence s’impose dans ce domaine. Un certain nombre de conditions préalables doit être rempli pour que ce stade, cet enseignement soit efficient ; sinon il aboutirait à une catastrophe et à un immense gâchis. Il y a lieu de tenir compte de cet avertissement de Fischbein (4) : « Les concepts fondamentaux de la Mathématique moderne pourront contribuer effectivement au progrès intellectuel de l’élève s’ils vont engrener et entraîner un ensemble d’automatismes intellectuels parfaitement compatibles avec les techniques traditionnelles du calcul. Dans le cas contraire il ne s’agira que d’un verbiage vide accompagné ou non par toutes sortes de figures, diagrammes, flèches, etc.


Un gâchis de talents

Dienès et Jeeves, relatant une expérience mathématique sur le « groupe de deux » dans une classe d’adultes, concluent, après avoir observé que deux élèves seulement sur soixante quatre ont pu donner une interprétation satisfaisante de ce groupe :« Comme nous l’avons dit, l’un de ces sujets était considéré comme nul en mathématiques et on l’avait invité à l’école à les abandonner à l’âge de quatorze ans- Il semble probable que l’on gâche une quantité fantastique de talents mathématiques » [7].
Il ne faudrait donc pas se dissimuler que l’enseignement des Mathématiques pose des problèmes difficiles, notamment au niveau élémentaire : problèmes de formation scientifique et pédagogique des maîtres, problèmes de langue et de langage et aussi problèmes d’environnement.
Le maître doit prendre conscience qu’il s’agit de faire acquérir à l’enfant aux différentes étapes de son développement mental, une certaine tournure, d’esprit plutôt que des techniques artisanales ; il s’agit de lui présenter certains outils mathématiques pour démontrer les mécanismes, les schématiser, les asservir et faciliter ainsi leur compréhension et leur maniement ; il s’agit, utilisant l’univers imagé et poétique de l’enfant, de rendre sensible à celui-ci la présence de l’univers des mathématiques dans lequel il est plongé, mais qui ne se révélera pleinement à lui que par un apprentissage faisant largement appel à la « découverte » et au « dialogue ».
C’est par la méthode du dialogue et par celle de la découverte qu’on développera le pouvoir de créativité de l’enfant, en alimentant son désir de créer, en satisfaisant son énorme besoin de s’exprimer et de s’interroger.
Par ces voies on pousse naturellement l’enfant à « jouer » dans le nouvel univers qu’il entrevoit et dans lequel il aura désormais tendance à travailler dans la joie, à la recherche constante de nouvelles règles de jeu, de nouveaux outils. Et ceux-ci, loin de s’émousser, s’aiguisent et se diversifient car, dans ce domaine, « le dialogue vivifie la recherche. Il est puissant et nécessaire. »
Pour établir ce dialogue puissant avec les enfants, il faut un langage cohérent et un maître averti, maître qu’aucune méthode audio-visuelle, fût elle la plus élaborée, ne remplacera jamais ; les stratégies heuristiques, si riches et si fécondes, varient souvent d’un maître à un autre et varient aussi, pour un maître donné, d’un milieu scolaire à un autre . C’est en s’adaptant à un milieu pour en mesurer la densité socio-culturelle que le maître, par une pédagogie différenciée, adoptera une stratégie spécifique pouvant hâter l’éclosion des structures mentales de l’enfant et faciliter alors le transfert des connaissances. Cela sous entend, bien entendu, que l’enseignant ait, au préalable apprivoisé l’élève, c’est-à-dire que celui-ci ait reconnu en celui-là le guide capable de l’aider à éclairer ses nombreuses questions ou à leur indiquer des directions de réponse, de manière à nourrir utilement un dialogue.
Et on retrouve ainsi la nécessité de former des maîtres compétents, aptes à diriger les enfants dans leur apprentissage et soucieux d’éviter de porter sur eux des jugements catégoriques et inopportuns ne pouvant aboutir qu’à un refus de dialogue.
S’irriter ou s’indigner, par exemple, à propos de questions tendant à obtenir des éclaircissements sur ce que le maître considère comme des évidences, c’est profondément méconnaître le caractère relatif de l’évidence, c’est oublier, comme le souligne Chomsky, « nous perdons aussi de vue le besoin d’explication lorsque les, phénomènes sont trop familiers et trop évidents ». [8]
Nombre d’enfants de chaque génération ont été ou seront à jamais détournés de l’école et des mathématiques par une attitude maladroite ou hostile des maîtres souvent d’ailleurs distingués, mais n’ayant pas compris que l’humilité fait partie des vertus cardinales de l’enseignant. Il importe que ce dernier saisisse l’occasion fournie par ses élèves pour dire « je ne sais pas » ou « le problème reste encore posé ». Il montrerait ainsi que la science est un domaine toujours ouvert, toujours à développer par l’effort et la contribution de ceux qui veulent scruter et explorer profondément son univers. Et il rendrait aussi hommage à l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps, E Galois, qui, victime des incompréhensions de quelques illustres académiciens de son époque, écrivait, méditant sur son œuvre.
« On prévoit que, traitant des sujets aussi nouveaux, hasardé dans une voie aussi insolite, bien sauvent des difficultés se sont présentées que je n’ai pu vaincre. Aussi sans ces deux mémoires et surtout dans le second qui est plus récent, trouvera-t-on souvent la formule « je ne sais pas ». La classe des lecteurs dont j’ai parlé au commencement ne manquera pas d’y trouver à rire. C’est que, malheureusement, on ne se doute pas que le livre le plus précieux du plus savant serait celui où il dirait tout ce qu’il ne sait pas. »  [9]
Ce sont précisément ces interrogations qui appellent des études, des réponses et d’autres interrogations ; et ainsi indéfiniment avance la recherche, se renouvelle l’enseignement et se développe la pédagogie.
Cette pédagogie ne se développera pleinement que par les efforts conjugués et soutenus des enseignants, des psychologues et des sociologues. Des apports des uns et des autres relatifs aux modes de transmission des connaissances, aux processus cognitifs, au calcul des paramètres socio-culturels significatifs de l’enfant, naîtront des techniques nouvelles et des outils appropriés pour une pédagogie moderne efficace. La pédagogie est essentiellement un art et le maître, avant de le marquer de son sceau, a besoin d’outils et de techniques qu’il doit parfaitement posséder et dompter, mieux peut-être que les connaissances à transmettre. Il y a un art « d’apprendre à apprendre » comme il y a un art d’apprendre à faire apprendre, les techniques de ce dernier pouvant être acquises dans des instituts spécialisés où divers modes d’action peuvent être proposés.
Cependant ces techniques, si raffinées soient-elles, ne peuvent suffire à l’artiste ; celui-ci aura à les plier aux exigences de son talent pour façonner un modèle souple et original source vivifiante d’inspiration pour ses élèves. Ce modèle devra se référer à l’atmosphère socio-culturelle de l’enfant, facteur d’éclosion et d’épanouissement des structures mentales comme l’a souligné Bruner.
Le rôle de l’environnement social revêt une importance particulière dans l’élaboration d’un tel modèle pédagogique en milieu négro-africain. Il y a essentiellement que « chaque groupe humain élabore ses moyens d’adaptation à la Nature et d’adaptation de la Nature à lui ; pour tout dire ses moyens d’expression, son langage » [10]. Et il se trouve que les moyens propres d’expression du négro-africain ne comprennent guère encore des moyens raffinés d’expression écrite ; ils sont quasi-totalement oraux et figuratifs faisant largement appel à l’image et au symbole et donnant une grande place aux interactions entre les divers éléments en présence. Il apparaît ainsi, en matière de pédagogie bien adaptée au négro-africain, une « stratégie mémoire » et une « stratégie opératoire ». Si cette dernière est « la plus puissante et la plus efficace du point de vue mathématique [11] il ne faut pas néanmoins négliger la première qui, par le stockage d’informations qu’elle autorise, tonifie la seconde. Ces deux sortes de stratégies sont d’ailleurs celles qui sont mises en œuvre dans les sociétés traditionnelles négro-africaines. Elles supposent logiquement que l’enfant « pense » dans la langue de transmission utilisée, cela est capital pour recevoir ou émettre convenablement des informations sentir les interactions et amorcer un dialogue fructueux avec les êtres mathématiques. C’est par la langue maternelle que l’enfant structure son univers ; c’est par elle qu’il s’épanouit et s’intègre au monde ; c’est par elle qu’il se découvre en découvrant les autres ; c’est par elle qu’il s’enracine dans son milieu.


L’importance des langues

Il y a donc lieu d’utiliser les langues négro-africaines comme langues d’enseignement. A défaut de pouvoir le faire dans l’immédiat, il importe que l’enseignement de la langue officielle se fasse avec comme objectif la connaissance profonde de ses structures, de sa grammaire afin d’en saisir les nuances les plus délicates. Alors la pensée peut se libérer et l’enfant « jouer » avec les images et les symboles qu’on lui présente. Enseigner aujourd’hui les langues officielles comme langues secondes ou comme langues étrangères, sans avoir au préalable introduit les langues maternelles dans les écoles, est une grave erreur qui mènera inévitablement à des regards scolaires catastrophiques et à une baisse inquiétante de niveau dans toutes les disciplines, notamment en mathématiques où une bonne connaissance de la langue de transmission est nécessaire dès le plus jeune âge. On pourra méditer, sur ce point, l’analyse de Bruner qui, se penchant sur les « possibilités précoces de développement » mental de l’enfant et sur les facteurs de déficit de ce développement, note : « Les déficits principaux apparaissent de nature linguistique au sens large - le manque d’occasion de prendre part à un dialogue, de se livrer à une paraphrase, d’intérioriser le langage comme un véhicule de la pensée... »
Cela étant, l’élaboration pour l’enseignement des mathématiques d’une pédagogie nouvelle, tenant compte des critères indiqués, contribuerait énormément, par les prolongements qu’elle implique, à l’avènement de la Civilisation de l’Universel.
Cette pédagogie nouvelle nécessite, pour être plus opérationnelle, des programmes et des horaires équilibrés ; adhérant aux besoins de la société et répondant aux normes de travail de l’enfant.
Le vaste champ d’investigation des mathématiques, sa considérable expansion depuis quelque cinquante ans, son emprise sur la presque totalité des activités humaines méritent sans doute qu’on lui consacre assez de temps et qu’on lui attribue un peu la part qui lui revient dans la « fixation des horaires ». Mais pour une formation générale harmonieuse, il faudra trouver entre la Mathématique et les autres disciplines scientifiques un juste équilibre, équilibre permis d’ailleurs par « l’économie de pensée » que garantit la Mathématique.
Cinq heures hebdomadaires dans le premier cycle des lycées et collèges, six à huit dans le second cycle pour les classes à dominante mathématique suffiraient pour assurer l’élaboration de programmes raisonnables, permettant aux maîtres d’accomplir leur mission dans un esprit conforme à celui de rénovation de mathématiques. Un horaire plus lourd risquerait de nuire à l’éducation générale de l’enfant et de conduire à des programmes plus chargés, souvent ambitieux et néfastes à tout effort de renouvellement pédagogique. Un horaire plus léger ne favoriserait guère l’acquisition des éléments de base indispensables à une bonne formation de l’enfant ; il aboutirait à un état de sous-développement mathématique de ce dernier, faute de programmes consistants.
Ces programmes doivent clairement montrer que les mathématiques, abstraites dans leur forme supérieure, naissent du concret et s’appuient sur le concret. C’est à partir du réel que se construisent les modèles et les schémas qui mènent à l’abstraction. On part du réel pour s’en libérer totalement et on y retourne souvent pour une meilleure adéquation. Il en résulte que les programmes élémentaires doivent être charpentés et bâtis sur le champ du réel, s’y consolider par le jeu de manipulations ensemblistes, par le jeu des graphes, par le jeu de créations de situations mathématiques ou mathématisables à partir du milieu ambiant, à partir de pôles d’éveil appropriés pouvant aider à dégager les relations essentielles liant les êtres qui composent les ensembles mathématiques. Car, et on l’a déjà noté, à la base de tout l’édifice mathématique - et même du monde - se trouvent principalement les « relations ». Tout n’est qu’une question de relations entre êtres, relations qui définissent les propriétés centrales des objets et des éléments dans leur interaction. Aussi convient-il, dans la Mathématique d’aujourd’hui, de commencer par l’initiation à l’étude de certaines notions ensemblistes, de manière à en avoir une vision à la fois intuitive et logique, sans se perdre dans une abstraction inutile à ce niveau, mais en s’attachant plutôt à montrer que cette approche permet de mieux faire les « mathématiques utiles ».
Durant tout l’enseignement secondaire - et bien entendu au-delà les programmes peuvent être agencés de manière à faire amplement place, non pas à des « mathématiques utiles » puisque toutes le sont, mais à des « mathématiques concrètes » ou appliquées orientées vers les exigences de la vie ordinaire et celles du monde des techniques.
Mais, comme l’a observé Lichnérowiez, « il ne s’agit pas seulement de donner des recettes aux futurs physiciens et chimistes, mais de fournir à tous une méthodologie de pensée qui leur permettra de ne pas subir la dictature d’une poignée d’hommes, ceux qui sauront » [12].
Cette conception est sans doute aussi celle de beaucoup de scientifiques, physiciens et ingénieurs ; elle rejoint celle de Von Braun qui déclarait : « Nous préférons des scientifiques qui aient l’esprit de la science, même s’ils savent à peine que 2 et 2 font 4, qui sont capables de saisir un sujet, de le raisonner logiquement en le projetant sur l’avenir, sans s’embarrasser de vaines connaissances du passé » [13].
Ce souci permanent de favoriser une certaine tournure d’esprit et de créer chez l’enfant une certaine attitude scientifique doit être constamment présent lors de l’élaboration de programmes et de modèles Pédagogiques appropriés.
Ce souci de donner une « méthodologie de pensée » fait aussi, qu’au stade de la recherche, on ne se préoccupe guère de « l’utilité » que peut avoir la Mathématique. Cette dernière encore une fois, se construit à partir d’axiomes nés du concret et se prolonge avec la seule ambition d’être cohérente. Les applications naissent de cette cohérence même et donnent lieu à des représentations adéquates du réel, cela justement parce que le fondement de l’architecture est le concret. C’est ainsi par exemple que pour les besoins de l’Algèbre on a élaboré la Théorie matricielle, utile en mécanique quantique et en Sciences économiques. C’est ainsi aussi que la Théorie des groupes trouve une place privilégiée en Physique, que la Logique formelle trouve ses applications en Informatique et en Linguistique, que la Géométrie différentielle a élargi les horizons de la Mécanique analytique, que la Théorie, de la mesure a raffiné celle des Probabilités avec un large rayon d’action sur le réel...
Cette pénétration heureuse, dans presque tous les domaines importants de la vie, de la Mathématique fait que cette dernière, par le nouvel éclairage qu’elle donne du monde et par la nouvelle dimension qu’elle y associe, est devenue un élément fécondant de l’humanisme moderne. Les sociétés de demain, les nations de demain qui auront le plus contribué à l’avènement de la Civilisation de l’Universel seront celles qui, dès aujourd’hui, font une place privilégiée aux mathématiques dans leur politique de développement.
C’est dès lors un devoir mondial de garantir à l’enfant, jusqu’à l’âge adulte, une bonne éducation mathématique, capable de lui donner cette tournure d’esprit et cette « méthodologie de pensée » qui feront de lui un homme total, facteur d’équilibre de sociétés en mutations profondes.
Il s’agit là d’une politique de formation des hommes qui passe nécessairement par cette formation mathématique de l’enfant.


[1] A. Lichnérowicz : dans « Express » 21 juin - 2 juillet 1967.

[2] J. Piaget : la psychologie de l’Intelligence - 1967.

[3] J.S. Bruner : « Toward a Theory of Instruction » - Harward University Press - Cambridge. Mass.

[4] J.S. Bruner : « Toward a Theory of Instruction » - Harward University Press - Cambridge. Mass.

[5] E. Fischbein : « Enseignement mathématique et développement intellectuel » - Actes du premier Congrès international de l’enseignement mathématique. (Lyon 24 - 30 août 1969).

[6] C. Hug : « L’Enfant et la Mathématique, - Bordas /Mouton.

[7] Z.P. Dienès et M.A. Jeeves : « Pensée et Structure » - O.C.D.L. PARIS.

[8] N. Chomsky : « Le langage et la pensée ». Petite Bibliothèque Payot Paris.

[9] L. Lessieur : « La vie d’Evariste Gallois » - Bull A.P.M. n° 232 - Oct 1963.

[10] L.S. Senghor : « Négritude Arabité et Francité » - Bibliothèque des idées Beyrouth.

[11] Bruner, cité par W. Servais dans « Préparation à l’Analyse mathématique dans l’Enseignement de 10 à 15 ans.

[12] A Lichnérowicz : Dans « Le Monde » du 20 janvier 1972.

[13] Von Braun : dans « L’Express du 31 janvier - 6 février 1972.




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